数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正弦、逆正接関数)、積、次数、一意性定理

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題15-(d)の解答を求めてみる。

15. 
    
    4. 
       
       $\begin{array}{l}\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+O\left(x^5\right)\\ \sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+O\left(x^5\right)\end{array}$

       よって、 だめな問題の逆正接関数と正弦の積の4次のテイラー展開は、

       $\begin{array}{l}{x}^2+\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)x^4\\ =x^2-\frac{1}{2}{x}^4\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, atan, sin

print('15-(d).')

x = symbols('x')

f = atan(x) * sin(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(5)])

pprint(g)

p = plot(atan(x), sin(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15-(d).
   4     
  x     2
- ── + x 
  2      

C:\Users\...>