数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 三角関数(正弦と余弦)、積、次数

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題15-(a)の解答を求めてみる。

15. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+O\left(x^5\right)\\ \cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+O\left(x^4\right)\\ \left(\sin x\right)\left(\cos x\right)\\ =x+\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)x^3+O\left(x^5\right)\\ =x-\frac{2}{3}{x}^3+O\left(x^5\right)\end{array}$

       よって、求める問題の関数の4次のテイラー多項式は

       $x-\frac{2}{3}{x}^3$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, sin, cos

print('15-(a).')

x = symbols('x')

f = sin(x) * cos(x)
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(sin(x), cos(x), f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15-(a).
     3    
  2⋅x     
- ──── + x
   3      

C:\Users\...>