数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - テイラー多項式 - 累乗、円周率、和、微分、導関数

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題14の解答を求めてみる。

14. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(1+\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}x+3x^2+2x^3\right)\\ =\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+6x+6x^2\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\left(1+\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}x+3x^2+2x^3\right)\\ =6+12x\\ \frac{d^3}{d{x}^3}\left(1+\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}x+3x^2+2x^3\right)\\ =12\end{array}$

    よって、 求める問題の関数に対する3次のテイラー多項式は、

    $\begin{array}{l}1+\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}x+\frac{6}{2!}{x}^2+\frac{12}{3!}{x}^3\\ =1+\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}x+3x^2+2x^3\end{array}$

    もともと3次以下だから元の関数と変わらず。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, pi

print('14.')

x = symbols('x')

f = 1 + pi * x + 3 * x ** 2 + 2 * x ** 3
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])

pprint(g)

p = plot(f, g.doit(),
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample14.py
14.
   3      2          
2⋅x  + 3⋅x  + π⋅x + 1

C:\Users\...>