数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正接)、累乗(べき乗、平方)、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題22の解答を求めてみる。

22. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\tan x\\ =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}y}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\tan x\\ =\frac{2\cos x\sin x}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\\ \frac{d^3}{d{x}^3}\tan x\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\cos x{\cos }^{3}x+\left(\sin x\right)3\left({\cos }^{2}x\right)\sin x}{{\cos }^{6}x}\\ =2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}\\ \tan x=x+\frac{2}{3!}{x}^3+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \tan \left(x^2\right)=x^2+\frac{1}{3}{x}^6+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ {\left(\tan x\right)}^2=x^2+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{2}{3!}{x}^4+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =x^2+\frac{2}{3}{x}^4+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\tan x^2}{{\tan }^{2}x}=1\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, tan

print('22.')

x = symbols('x')
f = tan(x ** 2) / tan(x) ** 2

for dir in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=dir)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(tan(x), tan(x ** 2), tan(x) ** 2, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color


p.show()
p.save('sample22.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample22.py
22.
     ⎛   ⎛ 2⎞⎞
     ⎜tan⎝x ⎠⎟
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁺⎜   2   ⎟
     ⎝tan (x)⎠

1

     ⎛   ⎛ 2⎞⎞
     ⎜tan⎝x ⎠⎟
 lim ⎜───────⎟
x─→0⁻⎜   2   ⎟
     ⎝tan (x)⎠

1


C:\Users\...>