数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 累乗根(平方根)、直線、累乗(べき乗、平方)、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題31の解答を求めてみる。

31. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left({\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}x\right)\\ =\frac{1}{2}{\left(1+x\right)}^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\\ \frac{d}{{\mathrm{dx}}^2}\left({\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}x\right)\\ =-\frac{1}{2^2}{\left(1+x\right)}^{-\frac{3}{2}}\\ \frac{d^3}{{\mathrm{dx}}^3}\left({\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}x\right)\\ =\frac{3}{2^3}{\left(1+x\right)}^{-\frac{5}{2}}\\ \frac{d^4}{{\mathrm{dx}}^4}\left({\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}x\right)\\ =-\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5}{2^4}{\left(1+x\right)}^{-\frac{7}{2}}\\ {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}x\\ =-\frac{1}{2!2^2}{x}^2+\frac{3}{3!2^3}{x}^3-\frac{3·\; <!--\; middle\; dot\; -->5}{4!2^4}{x}^4+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{2}}-1-\frac{1}{2}y}{x^2}=-\frac{1}{8}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, Rational

print('31.')

x = symbols('x')
f = ((1 + x) ** Rational(1, 2) - 1 - x / 2) / x ** 2

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample31.py
31.
     ⎛  x     _______    ⎞
     ⎜- ─ + ╲╱ x + 1  - 1⎟
     ⎜  2                ⎟
 lim ⎜───────────────────⎟
x─→0⁺⎜          2        ⎟
     ⎝         x         ⎠

-1/8

     ⎛  x     _______    ⎞
     ⎜- ─ + ╲╱ x + 1  - 1⎟
     ⎜  2                ⎟
 lim ⎜───────────────────⎟
x─→0⁻⎜          2        ⎟
     ⎝         x         ⎠

-1/8


C:\Users\...>