数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 行列の逆転(逆行列、行列式、小行列式、天地行列)

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、9(行列の逆転)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\det \left[\begin{array}{ccc}2& 1& 2\\ 0& 3& -1\\ 4& 1& 1\end{array}\right]\\ =2\left(3+1\right)+4\left(-1-6\right)\\ =8-28\\ =-20\end{array}$

      小行列式

      $\begin{array}{l}\det A_{11}=3+1=4\\ \det A_{12}=4\\ \det A_{13}=-12\\ \det A_{21}=1-2=-1\\ \det A_{22}=2-8=-6\\ \det A_{23}=2-4=-2\\ \det A_{31}=-1-6=-7\\ \det A_{32}=-2\\ \det A_{33}=6\end{array}$

      よって、求める逆行列は、

      $\begin{array}{l}{A}^{-1}\\ =-\frac{1}{20}\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -7\\ -4& -6& 2\\ -12& 2& 6\end{array}\right]\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\det A\\ =3\left(6-4\right)+\left(-3-20\right)-2\left(-1-10\right)\\ =6-23+22\\ =5\\ \det A_{11}=6-4=2\\ \det A_{12}=-3+2=-1\\ \det A_{13}=-4+4=0\\ \det A_{21}=-3-20=-23\\ \det A_{22}=9+10=19\\ \det A_{23}=12-2=10\\ \det A_{31}=-1-10=-11\\ \det A_{32}=3+5=8\\ \det A_{33}=6-1=5\\ A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}2& 23& -11\\ 1& 19& -8\\ 0& -10& 5\end{array}\right]\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\det A=3\left(-2\right)+\left(6+4\right)=10-6=4\\ \det A_{11}=3\\ \det A_{12}=-1\\ \det A_{13}=-2\\ \det A_{21}=4-6=-2\\ \det A_{22}=2\\ \det A_{23}=4\\ \det A_{31}=-9\\ \det A_{32}=3\\ \det A_{33}=6+4=10\\ A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -9\\ 1& 2& -3\\ -2& -4& 10\end{array}\right]\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\det A=7-2=5\\ \det A_{11}=7-2=5\\ \det A_{12}=0\\ \det A_{13}=0\\ \det A_{21}=14+z=16\\ \det A_{22}=7\\ \det A_{23}=2\\ \det A_{31}=2+1=3\\ \det A_{32}=1\\ \det A_{33}=1\\ A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}5& -16& 3\\ 0& 7& -1\\ 0& -2& 1\end{array}\right]\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\det A=-4\left(40-21\right)=-76\\ \det A_{11}=0\\ \det A_{12}=32\\ \det A_{13}=28\\ \det A_{21}=40-21=19\\ \det A_{22}=-8-6=-14\\ \det A_{23}=-7-10=-17\\ \det A_{31}=0\\ \det A_{32}=-12\\ \det A_{33}=-20\\ A^{-1}=-\frac{1}{76}\left[\begin{array}{ccc}0& -19& 0\\ -32& -14& 12\\ 28& 17& -20\end{array}\right]\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix

print('1.')

ts = [(2, 1, 2, 0, 3, -1, 4, 1, 1),
      (3, -1, 5, -1, 2, 1, -2, 4, 3),
      (2, 4, 3, -1, 3, 0, 0, 2, 1),
      (1, 2, -1, 0, 1, 1, 0, 2, 7),
      (-1, 5, 3, 4, 0, 0, 2, 7, 8)]

for i, t in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    A = Matrix(t).reshape(3, 3)
    for o in [A, A ** -1]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(a)
⎡2  1  2 ⎤
⎢        ⎥
⎢0  3  -1⎥
⎢        ⎥
⎣4  1  1 ⎦

⎡-1/5  -1/20  7/20 ⎤
⎢                  ⎥
⎢1/5   3/10   -1/10⎥
⎢                  ⎥
⎣3/5   -1/10  -3/10⎦

(b)
⎡3   -1  5⎤
⎢         ⎥
⎢-1  2   1⎥
⎢         ⎥
⎣-2  4   3⎦

⎡2/5  23/5  -11/5⎤
⎢                ⎥
⎢1/5  19/5  -8/5 ⎥
⎢                ⎥
⎣ 0    -2     1  ⎦

(c)
⎡2   4  3⎤
⎢        ⎥
⎢-1  3  0⎥
⎢        ⎥
⎣0   2  1⎦

⎡3/4   1/2  -9/4⎤
⎢               ⎥
⎢1/4   1/2  -3/4⎥
⎢               ⎥
⎣-1/2  -1   5/2 ⎦

(d)
⎡1  2  -1⎤
⎢        ⎥
⎢0  1  1 ⎥
⎢        ⎥
⎣0  2  7 ⎦

⎡1  -16/5  3/5 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   7/5   -1/5⎥
⎢              ⎥
⎣0  -2/5   1/5 ⎦

(e)
⎡-1  5  3⎤
⎢        ⎥
⎢4   0  0⎥
⎢        ⎥
⎣2   7  8⎦

⎡  0    1/4     0  ⎤
⎢                  ⎥
⎢8/19   7/38  -3/19⎥
⎢                  ⎥
⎢       -17        ⎥
⎢-7/19  ────  5/19 ⎥
⎣        76        ⎦


C:\Users\...>