数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - 線形写像、零

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A_1+A_2\right)\\ =\left(A_1+A_2\right)B-B\left(A_1+A_2\right)\\ =A_{1}B+A_{2}B-B{A}_1-B{A}_2\\ =A_{1}B-B{A}_1+A_{2}B-B{A}_2\\ ={\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A_1\right)+{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A_2\right)\\ {\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(cA\right)\\ =\left(cA\right)B-B\left(cA\right)\\ =cAB-cBA\\ =c\left(AB-BA\right)\\ =c{\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\left(A\right)\end{array}$

   よって線形写像である。

   $\begin{array}{l}\det \left({\mathrm{\phi \; <!--\; greek\; small\; letter\; phi\; -->}}_B\right)\\ =\det \left(AB-BA\right)\\ =\det \left(AB\right)-\det \left(BA\right)\\ =\det A\det B-\det B\det A\\ =\det A\det B-\det A\det B\\ =0\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix, symbols

print('1.')
n = 4
B = Matrix([[symbols(f'b{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
A = symbols('A')
f = A * B - B * A
C = Matrix([[symbols(f'c{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
D = Matrix([[symbols(f'd{i}{j}') for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
a = symbols('a')
g1 = f.subs({A: a * (C + D)})
g2 = a * f.subs({A: C}) + a * f.subs({A: D})

for o in [g1 == g2, f.subs({A: C}).det()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
True

0


C:\Users\...>