数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 3次元、部分空間、正規直交基底

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 直交基底を求める。
  
  $\begin{array}{l} v_{1} = (1, 1, - 1) \\ v_{2} = (1, 0, 1) - \frac{⟨ (1, 0, 1), (1, 1, - 1) ⟩}{⟨ (1, 1, - 1), (1, 1, - 1) ⟩} (1, 1, - 1) \\ = (1, 0, 1) - \frac{1 - 1}{1 + 1 + 1} (1, 1, - 1) \\ = (1, 0, 1) \end{array}$
  
  正規化して正規直交基底を求める。
  
  $\begin{array}{l} \frac{(1, 1, - 1)}{\sqrt{3}} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}}) \\ \frac{(1, 0, 1)}{\sqrt{1 + 1}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}) \end{array}$
2. 直交化。
  
  $\begin{array}{l} v_{1} = (2, 1, 1) \\ v_{2} = (1, 3, - 1) - \frac{(2, 1, 1) \cdot (1, 3, - 1)}{(2, 1, 1) \cdot (2, 1, 1)} (2, 1, 1) \\ = (1, 3, - 1) - \frac{2 + 3 - 1}{4 + 1 + 1} (2, 1, 1) \\ = (1, 3, - 1) - \frac{2}{3} (2, 1, 1) \\ = \frac{1}{3} (- 1, 7, - 5) \end{array}$
  
  正規化。
  
  $\begin{array}{l} \frac{(2, 1, 1)}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{6}} (2, 1, 1) \\ \frac{1}{3} \frac{(- 1, 7, - 5)}{\frac{1}{3} \sqrt{1 + 49 + 25}} = \frac{1}{5 \sqrt{3}} (- 1, 7, - 5) \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix, symbols

print('1.')
ts = [((1, 1, -1), (1, 0, 1)),
      ((2, 1, 1), (1, 3, -1))]

for i, (v1, v2) in enumerate(ts):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    u = Matrix(v1)
    v = Matrix(v2)
    u1 = u / u.norm()
    v1 = v - u.dot(v) / u.dot(u) * u
    v1 = v1 / v1.norm()
    for o in [u1, v1]:
        pprint(o.transpose())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(a)
⎡√3  √3  -√3 ⎤
⎢──  ──  ────⎥
⎣3   3    3  ⎦

⎡√2     √2⎤
⎢──  0  ──⎥
⎣2      2 ⎦

(b)
⎡√6  √6  √6⎤
⎢──  ──  ──⎥
⎣3   6   6 ⎦

⎡-√3   7⋅√3  -√3 ⎤
⎢────  ────  ────⎥
⎣ 15    15    3  ⎦


C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年6月20日木曜日

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