数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 対角行列、直交補空間、次元、行列の積、トレース(対角要素の和)、零

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題8の解答を求めてみる。

問題より、スカラー積は退化していないから、だめな対角行列のなす部分空間の直交補空間は、

$\begin{array}{l} ⟨ A, B ⟩ \\ = (\sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i})) \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i i} b_{i i}) \end{array}$

から分かるように、対角のすべてが0の行列すべての集合。

次元は、

$n^{2} - n$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('8.')

n = 4


def f(i, j):
    if i == j:
        return symbols(f'a{i + 1}{j + 1}')
    return 0


A = Matrix([[f(i, j) for j in range(n)]
            for i in range(n)])
B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
            for i in range(n)])

for o in [A, B]:
    pprint(o)
    print()

pprint(solve((A * B).trace(), B))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
8.
⎡a₁₁   0    0    0 ⎤
⎢                  ⎥
⎢ 0   a₂₂   0    0 ⎥
⎢                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃   0 ⎥
⎢                  ⎥
⎣ 0    0    0   a₄₄⎦

⎡b₁₁  b₁₂  b₁₃  b₁₄⎤
⎢                  ⎥
⎢b₂₁  b₂₂  b₂₃  b₂₄⎥
⎢                  ⎥
⎢b₃₁  b₃₂  b₃₃  b₃₄⎥
⎢                  ⎥
⎣b₄₁  b₄₂  b₄₃  b₄₄⎦

⎡⎛-(a₂₂⋅b₂₂ + a₃₃⋅b₃₃ + a₄₄⋅b₄₄)                                              
⎢⎜───────────────────────────────, b₁₂, b₁₃, b₁₄, b₂₁, b₂₂, b₂₃, b₂₄, b₃₁, b₃₂
⎣⎝              a₁₁                                                           

                              ⎞⎤
, b₃₃, b₃₄, b₄₁, b₄₂, b₄₃, b₄₄⎟⎥
                              ⎠⎦

C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年6月27日木曜日

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