数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 行列の積、トレース(対角要素の和)、退化について、零

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題6の解答を求めてみる。

7. 
   

   行列の積の成分表示。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =tr\left(AB\right)\\ =tr\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)\end{array}$

   SP 1 の可換について。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->B,A⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{ki}\right)\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ki}{b}_{ik}\right)\\ =\underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   SP 2の分配律について。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B+C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =tr\left(A\left(B+C\right)\right)\\ =tr\left(AB+AC\right)\\ =tr\left(AB\right)+tr\left(AC\right)\\ =⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->+⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,C⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\end{array}$

   SP 3のスカラー倍について。

   $\begin{array}{l}⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->xA,B⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =tr\left(xAB\right)\\ =xtr\left(AB\right)\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->A,xB⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =tr\left(A\left(xB\right)\right)\\ =tr\left(xAB\right)\\ =xtr\left(AB\right)\end{array}$

   よってスカラー積で ある。

   また、 行列 A が すべての行 B に対して零のとき、

   $\begin{array}{l}tr\left(AB\right)=0\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ik}{b}_{ki}\right)=0\\ a_{ij}=0\\ A=O\end{array}$

   よって、退化していない。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('7.')

n = 4
A = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
            for i in range(n)])
B = Matrix([[symbols(f'b{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
            for i in range(n)])
C = Matrix([[symbols(f'c{i + 1}{j + 1}') for j in range(n)]
            for i in range(n)])
x = symbols('x')
for a, b in [((A * B).trace(), (B * A).trace()),
             ((A * (B + C)).trace(), (A * B).trace() + (A * C).trace()),
             (((x * A) * B).trace(), x * (A * B).trace()),
             ((A * (x * B)).trace(), x * (A * B).trace())]:
    print(a.expand() == b.expand())

pprint(solve((A * B).trace(),
             *[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}')
               for i in range(n)
               for j in range(n)], dict=True))

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
True
True
True
True
⎡⎧     -(a₁₂⋅b₂₁ + a₁₃⋅b₃₁ + a₁₄⋅b₄₁ + a₂₁⋅b₁₂ + a₂₂⋅b₂₂ + a₂₃⋅b₃₂ + a₂₄⋅b₄₂ +
⎢⎨a₁₁: ───────────────────────────────────────────────────────────────────────
⎣⎩                                                                            

 a₃₁⋅b₁₃ + a₃₂⋅b₂₃ + a₃₃⋅b₃₃ + a₃₄⋅b₄₃ + a₄₁⋅b₁₄ + a₄₂⋅b₂₄ + a₄₃⋅b₃₄ + a₄₄⋅b₄₄
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
   b₁₁                                                                        

) ⎫⎤
──⎬⎥
  ⎭⎦

C:\Users\...>