数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 連続関数のなすベクトル空間、部分空間の生成、正規直交基底、積分によるスカラー積の定義

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   

   直交化、直交基底。

   $\begin{array}{l}u=f\left(t\right)=t\\ v=g\left(t\right)-\frac{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->g,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}f\left(t\right)\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->g,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}g\left(t\right)f\left(t\right)\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{t}^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->t\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{4}{\left[t^4\right]}_0^1\\ =\frac{1}{4}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^{1}f\left(t\right)f\left(t\right)\mathrm{dt}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int \; <!--\; integral\; -->}}{t}^2\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{3}\\ v=t^2-\frac{3}{4}t\end{array}$

   正規化、正規直交基底。

   $\begin{array}{l}\frac{u}{∥u∥}\\ =\frac{t}{\sqrt{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->f,f⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}}\\ =\sqrt{3}t\\ \frac{v}{∥v∥}\\ =\frac{v}{\sqrt{⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->}}\\ ⟨\; <!--\; mathematical\; left\; angle\; bracket\; -->v,v⟩\; <!--\; mathematical\; right\; angle\; bracket\; -->\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1{\left(t^2-\frac{3}{4}t\right)}^2\mathrm{dt}\\ ={\int \; <!--\; integral\; -->}_0^1\left(t^4-\frac{3}{2}{t}^3+\frac{9}{16}{t}^2\right)\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{5}-\frac{3}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{4}+\frac{9}{16}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{3}\\ =\frac{1}{5}-\frac{3}{8}+\frac{3}{16}\\ =\frac{16-30+15}{80}\\ =\frac{1}{80}\\ \frac{v}{∥v∥}\\ =\sqrt{80}\left(t^2-\frac{3}{4}t\right)\\ =4\sqrt{5}\left(t^2-\frac{3}{4}t\right)\\ =4\sqrt{5}{t}^2-3\sqrt{5}t\\ \left\{\sqrt{3}t,4\sqrt{5}{t}^2-3\sqrt{5}t\right\}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, sqrt

print('4.')

t = symbols('t')


def scalar_mul(f, g):
    return Integral(f * g, (t, 0, 1)).doit()


def norm(f):
    return sqrt(scalar_mul(f, f))


f = t
g = t ** 2

u = f / norm(f)
v = g - scalar_mul(g, u) / scalar_mul(u, u) * u
v = v / norm(v)

for o in [u, v]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g, u, v, ylim=(-10, 10), show=False, legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
√3⋅t

     ⎛ 2   3⋅t⎞
4⋅√5⋅⎜t  - ───⎟
     ⎝      4 ⎠


C:\Users\...>