数学 - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 点の座標 - 平面上の2点間の距離、内分点・外分点 - 三角形、座標の取り方、等式の証明

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.1(点の座標)、平面上の2点間の距離、内分点・外分点の問4の解答を求めてみる。

4. 
   

   図のように直線 BC を x 軸にとり、 D を通ってBCに垂直な直線を y 軸にとった座標軸を考え、この 座標に対する点 A、B、C の座標をそれでれ、

   $\left(a,b\right),\left(-c,0\right),\left(2c,0\right)$

   とする。そのとき、

   $\begin{array}{l}2A{B}^2+A{C}^2\\ =2\left({\left(a+c\right)}^2+b^2\right)+\left({\left(2c-a\right)}^2+b^2\right)\\ =2\left(a^2+2ac+c^2+b^2\right)+\left(4c^2-4ac+a^2+b^2\right)\\ =3a^2+3b^2+6c^2\\ 3\left(A{D}^2+2B{D}^2\right)\\ =3\left(\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right)\\ =3a^2+3b^2+6c^2\end{array}$

   よって、

   $2A{B}^2+A{C}^2=3\left(A{D}^2+2B{D}^2\right)$

   が成り立つ。

   （証明終）