数学 - Python - 解析学 - ルベーグ積分 - 外測度 - 開集合、有界、有限、極限、級数

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   開集合 U を

   $U=\left(2,2+\frac{1}{2^2}\right)\cup \; <!--\; union\; -->\left(3,3+\frac{1}{3^2}\right)\cup \; <!--\; union\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\cup \; <!--\; union\; -->\left(n,n+\frac{1}{n^2}\right)\cup \; <!--\; union\; -->\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->$

   とする。

   この開集合は上に有界ではない。

   また外測度について、

   $\begin{array}{l}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(U\right)\\ =\left(2+\frac{1}{2^2}-2\right)+\left(3+\frac{1}{3^2}-3\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(n+\frac{1}{n^2}-n\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\\ =\frac{2}{2^2}+\frac{4}{4^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->·\; <!--\; middle\; dot\; -->\\ =\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{2^n}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{2^k}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2\\ =1\\ <\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

徐々に小さくなるようにしなくても、全てプラス2のn乗でよかった。そうすれば比較(不等式)も必要なくなるし。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / n ** 2, (n, 2, oo))
for o in [s, s <= 1]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
      2
     π 
-1 + ──
     6 

True


C:\Users\...>