数学 - Python - 解析学 - 級数 - 正項級数 - 累乗(べき乗、平方)、逆数、比較、収束

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{n^2}{n^4+n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{n^2}{n^4}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n^2}\end{array}$

   また、

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}$

   は収束する。

   よって、

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{n}{n^4+n}$

   は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n', integer=True)
s1 = summation(n ** 2 / (n ** 4 + n), (n, 1, oo))
s2 = summation(1 / n ** 2, (n, 1, oo))

for s in [s1, s2]:
    pprint(s)
    print()


def f(n, i):
    return sum([1 / k ** i for k in range(1, n + 1)])


def g(n):
    return sum([k ** 2 / (k ** 4 + k) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [g(n) for n in ns],
         ns, [f(n, 2) for n in ns],
         ns, [s1 for _ in ns],
         ns, [s2 for _ in ns])

plt.legend(['n^2/(n^4 + n)', '1/n^2', s1, s2])
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ∞         
_____       
╲           
 ╲       2  
  ╲     n   
   ╲  ──────
   ╱   4    
  ╱   n  + n
 ╱          
╱           
‾‾‾‾‾       
n = 1       

 2
π 
──
6 


C:\Users\...>