数学 - Python - 解析学 - 級数 - 正項級数、部分和、極限、不等式、収束、累乗(vべき乗、平方、立方)、逆数

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{1}{n^3}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n^2}\\ \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^3}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}\\ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\frac{1}{8^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =1+\frac{2}{2^2}+\frac{4}{4^2}+\frac{8}{8^2}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^2}\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}\\ =2\end{array}$

   よって、 右辺は収束する。
   ゆえに

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n^3}$

   は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt
print('1.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / n ** 3, (n, 1, oo))
pprint(s)


def f(n, i):
    return sum([1 / k ** i for k in range(1, n + 1)])


s0 = summation(1 / n ** 2, (n, 1, oo))
y0 = float(s0)
y1 = float(s)
ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n, 2) for n in ns],
         ns, [f(n, 3) for n in ns],
         ns, [y0 for _ in ns],
         ns, [y1 for _ in ns])

plt.legend(['1/n^2', '1/n^3', s0, s])
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
ζ(3)

C:\Users\...>