数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 平方根、逆数、極限、発散

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題7を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{\sqrt{n (n + 1)}}{\sqrt{(n + 1) (n + 2)}} \\ = \sqrt{\frac{n}{n + 2}} \\ \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n + 2}} \\ = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{2}{n}}} \\ = 1 \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < c \\ 0 < c < 1 \end{array}$

を満たす c は存在しないので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('7.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / sqrt(n * (n + 1)), (n, 1, oo))
l = Limit(sqrt(n * (n + 1)) / sqrt((n + 1) * (n + 2)), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([1 / sqrt(k * (k + 1)) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [sqrt(n * (n + 1)) / sqrt((n + 1) * (n + 2)) for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ 1 / √n * (n + 1)', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
  ∞                
 ____              
 ╲                 
  ╲         1      
   ╲  ─────────────
   ╱    ___________
  ╱   ╲╱ n⋅(n + 1) 
 ╱                 
 ‾‾‾‾              
n = 1              

    ⎛     ___________   ⎞
    ⎜   ╲╱ n⋅(n + 1)    ⎟
lim ⎜───────────────────⎟
n─→∞⎜  _________________⎟
    ⎝╲╱ (n + 1)⋅(n + 2) ⎠

1


c:\Users\...>

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2019年7月30日火曜日

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