数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 対数関数、累乗(べき乗、平方)、収束、微分

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{\log \left(n+1\right)}{{\left(n+1\right)}^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{n^2}{\log n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{n^2}{{\left(n+n\right)}^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}\\ =\frac{1}{2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{1}{2}\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}\\ =\frac{1}{2}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{n}{n+1}\\ =\frac{1}{2}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

   よって、

   $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{2}$

   より、 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(log(n) / n ** 2, (n, 1, oo))
pprint(s)


def f(n):
    return sum([log(k) / k ** 2 for k in range(1, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [s for _ in ns])

plt.legend(['Σ log(n) / n^2', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲   log(n)
   ╲  ──────
   ╱     2  
  ╱     n   
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

C:\Users\...>