数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗(べき乗、平方)、指数関数、逆数、収束

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{{\left(n+1\right)}^2{2}^{-\left(n+1\right)}}{n^2{2}^{-n}}\\ =\frac{{\left(n+1\right)}^2}{2n^2}\\ n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->3\\ \frac{{\left(n+1\right)}^2}{2n^2}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{{\left(n+\frac{1}{3}n\right)}^2}{2n^2}\\ =\frac{16n^2}{18n^2}\\ <\frac{8}{9}\end{array}$

   よって問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 2 * 2 ** (-n), (n, 0, oo))
pprint(s)


def f(n):
    return sum([k ** 2 * 2 ** (-k) for k in range(0, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [s for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^2 x 2^-n', s])
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
6

C:\Users\...>