数学 - Python - 解析学 - 級数 - 正項級数 - 平方根、逆数、比較、発散

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題3を求めてみる。

3. 
   
   $\frac{1}{\sqrt{n}}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{n}$

   で、

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{n}$

   は発散するから

   $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{1}{\sqrt{n}}$

   は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
s1 = summation(1 / n ** Rational(1, 2), (n, 1, oo))
s2 = summation(1 / n, (n, 1, oo))

for s in [s1, s2]:
    pprint(s)
    print()


def f(n, i):
    return sum([1 / k ** i for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n, Rational(1, 2)) for n in ns],
         ns, [f(n, 1) for n in ns])

plt.legend(['1/n^1/2', '1/n'])
plt.savefig('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
  ∞     
 ____   
 ╲      
  ╲   1 
   ╲  ──
   ╱  √n
  ╱     
 ╱      
 ‾‾‾‾   
n = 1   

∞


C:\Users\...>