数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦)、直線、累乗(べき乗、立方)、和、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題36の解答を求めてみる。

36. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x-x+\frac{x^3}{3!}\\ f\text{'}\left(x\right)=\cos x-1+\frac{1}{2}{x}^2\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\sin x+x\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)=-\cos x+1\\ f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f^{\left(5\right)}\left(x\right)=\cos x\\ f^{\left(6\right)}\left(x\right)=-\sin x\\ f^{\left(7\right)}\left(x\right)=-\cos x\\ f^{\left(8\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f\left(x\right)=\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\sin x-x+\frac{x^3}{3!}}{x^3}=0\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, sin, factorial

print('36.')

x = symbols('x')
f = (sin(x) - x + x ** 3 / factorial(3)) / x ** 4

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(sin(x), -x, + x ** 3 / factorial(3),
         sin(x) - x + x ** 3 / factorial(3), x ** 4, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample36.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample36.py
36.
     ⎛ 3             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── - x + sin(x)⎟
     ⎜6              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁺⎜        4      ⎟
     ⎝       x       ⎠

0

     ⎛ 3             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── - x + sin(x)⎟
     ⎜6              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁻⎜        4      ⎟
     ⎝       x       ⎠

0


C:\Users\...>