数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦)、直線、累乗(べき乗、立方)、階乗、和、差、商、極限

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題37の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} f (x) = \sin x - x + \frac{x^{3}}{3!} \\ f' (x) = \cos x - 1 + \frac{x^{2}}{2} \\ f^{(2)} (x) = - \sin x + x \\ f^{(3)} (x) = - \cos x + 1 \\ f^{(4)} (x) = \sin x \\ f^{(5)} (x) = \cos x \\ f^{(6)} (x) = - \sin x \\ f^{(7)} (x) = - \cos x \\ f^{(8)} (x) = \sin x \\ f (x) = \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} + \\ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x^{3}}{3!}}{x^{5}} = \frac{1}{5!} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, sin, factorial

print('37.')

x = symbols('x')
f = (sin(x) - x + x ** 3 / factorial(3)) / x ** 5

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(sin(x), -x, + x ** 3 / factorial(3),
         sin(x) - x + x ** 3 / factorial(3), x ** 5, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample37.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample37.py
37.
     ⎛ 3             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── - x + sin(x)⎟
     ⎜6              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁺⎜        5      ⎟
     ⎝       x       ⎠

1/120

     ⎛ 3             ⎞
     ⎜x              ⎟
     ⎜── - x + sin(x)⎟
     ⎜6              ⎟
 lim ⎜───────────────⎟
x─→0⁻⎜        5      ⎟
     ⎝       x       ⎠

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C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年7月4日木曜日

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