数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(余弦)、累乗(べき乗、平方)、階乗、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題39の解答を求めてみる。

39. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\cos x-1-\frac{x^2}{2!}\\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin x-x\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\cos x-1\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\cos x\\ f^{\left(5\right)}\left(x\right)=-\sin x\\ f^{\left(6\right)}\left(x\right)=-\cos x\\ f^{\left(7\right)}\left(x\right)=\sin x\\ f\left(x\right)=-\frac{2}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\cos x-1-\frac{x^2}{2!}}{x^2}=-1\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, cos, factorial

print('39.')

x = symbols('x')
f = (cos(x) - 1 - x ** 2 / factorial(2)) / x ** 2

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(cos(x) - 1 - x ** 2 / factorial(2), x ** 2, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample39.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample39.py
39.
     ⎛   2             ⎞
     ⎜  x              ⎟
     ⎜- ── + cos(x) - 1⎟
     ⎜  2              ⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
x─→0⁺⎜         2       ⎟
     ⎝        x        ⎠

-1

     ⎛   2             ⎞
     ⎜  x              ⎟
     ⎜- ── + cos(x) - 1⎟
     ⎜  2              ⎟
 lim ⎜─────────────────⎟
x─→0⁻⎜         2       ⎟
     ⎝        x        ⎠

-1


C:\Users\...>