数学 - Python - 解析学 - 級数 - テイラーの公式 - 三角関数(正弦と余弦)、直線、累乗(べき乗、平方)、定数、和、差、商、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題35の解答を求めてみる。

35. 
    
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x+\cos x-1-x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}f\left(x\right)=\cos x-\sin x-1\\ \frac{d^2}{d{x}^2}f\left(x\right)=-\sin x-\cos x\\ \frac{d^3}{d{x}^3}f\left(x\right)=-\cos x+\sin x\\ \frac{d^4}{d{x}^4}f\left(x\right)=\sin x-\cos x\\ \frac{d^5}{d{x}^5}f\left(x\right)=\cos x+\sin x\\ \frac{d^6}{d{x}^6}f\left(x\right)=-\sin x+\cos x\\ \frac{d^7}{d{x}^7}f\left(x\right)=-\cos x-\sin x\\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2!}{x}^2-\frac{1}{3!}{x}^3-\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{1}{5!}{x}^5+\frac{1}{6!}{x}^6-\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->\\ \underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0}{\lim }\frac{\sin x+\cos x-1-x}{x^2}=-\frac{1}{2!}=-\frac{1}{2}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, sin, cos

print('35.')

x = symbols('x')
f = (sin(x) + cos(x) - 1 - x) / x ** 2

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(sin(x), cos(x), -1, -x, sin(x) + cos(x) - 1 - x, x ** 2, f,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample35.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample35.py
35.
     ⎛-x + sin(x) + cos(x) - 1⎞
 lim ⎜────────────────────────⎟
x─→0⁺⎜            2           ⎟
     ⎝           x            ⎠

-1/2

     ⎛-x + sin(x) + cos(x) - 1⎞
 lim ⎜────────────────────────⎟
x─→0⁻⎜            2           ⎟
     ⎝           x            ⎠

-1/2


C:\Users\...>