数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 逆数、定数、不等式、微分、導関数、狭義単調増加

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題3の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} x > 1 \\ f (x) = x \log x - (x - 1) \\ g (x) = (x - 1) - \log x \end{array}$

とおく。

$\begin{array}{l} f' (x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 \\ = \log x + 1 - 1 \\ = \log x \\ > 0 \end{array}$

よって狭義単調増加で、

$\log 1 = 0$

より、

$\begin{array}{l} x > 1 \\ f (x) > 0 \\ x \log x - (x - 1) > 0 \\ x \log x > x - 1 \\ \frac{\log x}{x - 1} > \frac{1}{x} \end{array}$

また g について

$\begin{array}{l} x > 1 \\ g' (x) \\ = 1 - \frac{1}{x} \\ > 0 \end{array}$

よって g も f と同様に、

$\begin{array}{l} x - 1 > \log x \\ 1 > \frac{\log x}{x - 1} \end{array}$

ゆえに、

$\begin{array}{l} x > 1 \\ \frac{1}{x} < \frac{\log x}{x - 1} < 1 \end{array}$

が成り立つ。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative, log

print('3.')


a, x = symbols('a, x')
l = 1 / x
c = log(x) / (x - 1)
r = 1
f = x * log(x) - (x - 1)
g = (x - 1) - log(x)


for o in [f, g]:
    d = Derivative(f, x, 1)
    for o in [d, d.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(l, c, r,
         Derivative(f, x, 1).doit(),
         Derivative(g, x, 1).doit(),
         (x, 1.1, 5),
         ylim=(0, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)

d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)


C:\Users\...>

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2019年7月21日日曜日

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