数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 逆数、定数、不等式、微分、導関数、狭義単調増加

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}x>1\\ f\left(x\right)=x\log x-\left(x-1\right)\\ g\left(x\right)=\left(x-1\right)-\log x\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\log x+x·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}-1\\ =\log x+1-1\\ =\log x\\ >0\end{array}$

   よって狭義単調増加で、

   $\log 1=0$

   より、

   $\begin{array}{l}x>1\\ f\left(x\right)>0\\ x\log x-\left(x-1\right)>0\\ x\log x>x-1\\ \frac{\log x}{x-1}>\frac{1}{x}\end{array}$

   また g について

   $\begin{array}{l}x>1\\ g\text{'}\left(x\right)\\ =1-\frac{1}{x}\\ >0\end{array}$

   よって g も f と同様に、

   $\begin{array}{l}x-1>\log x\\ 1>\frac{\log x}{x-1}\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}x>1\\ \frac{1}{x}<\frac{\log x}{x-1}<1\end{array}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative, log

print('3.')


a, x = symbols('a, x')
l = 1 / x
c = log(x) / (x - 1)
r = 1
f = x * log(x) - (x - 1)
g = (x - 1) - log(x)


for o in [f, g]:
    d = Derivative(f, x, 1)
    for o in [d, d.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(l, c, r,
         Derivative(f, x, 1).doit(),
         Derivative(g, x, 1).doit(),
         (x, 1.1, 5),
         ylim=(0, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)

d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)


C:\Users\...>