数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 一般の直交基底 - 生成された有限次元ベクトル空間、実3次元空間、部分空間、実2次元空間

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、3(一般の直交基底)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}u=A\\ v=B-\frac{B·\; <!--\; middle\; dot\; -->A}{A·\; <!--\; middle\; dot\; -->A}A\\ =\left(1,-1,2\right)-\frac{\left(1,-1,2\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,1\right)}{\left(1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,1\right)}\left(1,1,1\right)\\ =\left(1,-1,2\right)-\frac{1-2+2}{1+2+1}\left(1,1,1\right)\\ =\left(1,-1,2\right)-\frac{1}{4}\left(1,1,1\right)\\ =\frac{1}{4}\left(3,-5,7\right)\end{array}$

      よって、求める 部分空間の直交基底は、

      $\left\{\left(1,1,1\right),\left(3,-5,7\right)\right\}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}u=\left(1,-1,4\right)\\ v=\left(-1,1,3\right)-\frac{\left(-1,1,3\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,4\right)}{\left(1,-1,4\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,4\right)}\left(1,-1,4\right)\\ =\left(-1,1,3\right)-\frac{-1+3-4+3}{1-3+4+4}\left(1,-1,4\right)\\ =\left(-1,1,3\right)-\frac{1}{6}\left(1,-1,4\right)\\ =\frac{1}{6}\left(-7,7,14\right)\\ =\frac{7}{6}\left(-1,1,2\right)\\ \left\{\left(1,-1,4\right),\left(-1,1,2\right)\right\}\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('1.')


def f(X, Y):
    return X[0] * Y[0] + 2 * X[1] * Y[1] + X[2] * Y[2]


def g(X, Y):
    return X[0] * Y[0] - 3 * X[1] * Y[1] + X[0] * Y[2] - X[2] * Y[1]


hs = [f, g]
ABs = [((1, 1, 1), (1, -1, 2)),
       ((1, -1, 4), (-1, 1, 3))]

for i, (h, (a, b)) in enumerate(zip(hs, ABs)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    A = Matrix(a)
    B = Matrix(b)
    B = B - h(B, A) / h(A, A) * A
    for o in [A, B]:
        pprint(o.transpose())
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(a)
[1  1  1]

[3/4  -5/4  7/4]

(b)
[1  -1  4]

[-7/6  7/6  7/3]


C:\Users\...>