数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 円と軌跡 - 軌跡の方程式 - 比率、距離、平方和、線分、内分点

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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、軌跡の方程式の問30の解答を求めてみる。

1. 点 P を(x, y)とおく。
  
  $\begin{array}{l} {(x - 6)}^{2} + y^{2} = 2^{2} (x^{2} + {(y - 3)}^{2}) \\ 3 x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0 \\ x^{2} + 4 x + y^{2} - 8 y = 0 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 20 \end{array}$
  
  よって中心、半径がそれぞれ
  
  $\begin{array}{l} (- 2, 4) \\ \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \end{array}$
  
  の円。
2. $\begin{array}{l} {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 \\ 2 x^{2} + 2 y^{2} = 4 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{array}$
3. $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(x - 2)}^{2} + y^{2} \\ x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0 \\ {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4 \end{array}$
4. $\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 64 \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 18 x - 6 y + 46 = 64 \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 18 x - 6 y = 18 \\ x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y = 6 \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16 \end{array}$
5. 点 Q の座標を
  
  $(u, v)$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} u^{2} + v^{2} - 6 u - 10 v + 30 = 0 \\ x = \frac{3 u}{3 + 1} \\ y = \frac{3 v}{3 + 1} \\ u = \frac{4}{3} x \\ v = \frac{4}{3} y \\ {(\frac{4}{3})}^{2} x^{2} + {(\frac{4}{3})}^{2} y^{2} - 6 \cdot \frac{4}{3} x - 10 \cdot \frac{4}{3} y + 30 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 6 \cdot \frac{3}{4} x - 10 \cdot \frac{3}{4} y + 30 \cdot \frac{3^{2}}{4^{2}} = 0 \\ x^{2} + y^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{15}{2} y + \frac{135}{8} = 0 \\ {(x - \frac{9}{4})}^{2} + {(y - \frac{15}{4})}^{2} - {(\frac{9}{4})}^{2} - {(\frac{15}{4})}^{2} + \frac{135}{8} = 0 \\ {(x - \frac{9}{4})}^{2} + {(y - \frac{15}{4})}^{2} - \frac{81}{16} - \frac{225}{16} + \frac{270}{16} = 0 \\ {(x - \frac{9}{4})}^{2} + {(y - \frac{15}{4})}^{2} = \frac{36}{16} \\ {(x - \frac{9}{4})}^{2} + {(y - \frac{15}{4})}^{2} = \frac{9}{4} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, sqrt, Rational

print('30.')

x, y = symbols('x, y')
u = 4 * x / 3
v = 4 * y / 3
eq = u ** 2 + v ** 2 - 6 * u - 10 * v + 30
ys = solve(eq, y)

for o in [eq, eq.factor(), ys]:
    pprint(o)
    print()

r = Rational(3, 2)
ox = Rational(9, 4)
x1 = ox - r
x2 = ox + r
p = plot(*ys,
         (x, x1, x2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample30.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample30.py
30.
    2             2            
16⋅x          16⋅y    40⋅y     
───── - 8⋅x + ───── - ──── + 30
  9             9      3       

  ⎛   2             2             ⎞
2⋅⎝8⋅x  - 36⋅x + 8⋅y  - 60⋅y + 135⎠
───────────────────────────────────
                 9                 

⎡        _____________________     _____________________     ⎤
⎢       ╱       2                 ╱       2                  ⎥
⎢15   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45   ╲╱  - 16⋅x  + 72⋅x - 45    15⎥
⎢── - ────────────────────────, ──────────────────────── + ──⎥
⎣4               4                         4               4 ⎦


C:\Users\...>

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2019年7月28日日曜日

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