数学 - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 平面における直線 - 三角形の1つの性質 - 垂直二等分線、外心、解析幾何学の方法

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.2(平面における直線)、三角形の1つの性質の問18の解答を求めてみる。

18. 
    

    直線 BC と x 軸、 BC の中点を原点とする座標を考える。

    三角形の3頂点 ABC の座標をそれぞれ、

    $\begin{array}{l}A=\left(a,b\right)\\ B=\left(-c,0\right)\\ C=\left(c,0\right)\end{array}$

    とおく。

    このとき、 線分 BC の中点 L の座標は、

    $L=\left(0,0\right)$

    線分 AC の中点 M の座標は、

    $M=\left(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2}\right)$

    線分 AB の中点 N の座標は、

    $N=\left(\frac{a-c}{2},\frac{b}{2}\right)$

    直線 AB の傾きは、

    $\frac{b}{a+c}$

    よって辺 AB の垂直二等分線の傾きは、

    $\begin{array}{l}\frac{b}{a+c}·\; <!--\; middle\; dot\; -->m=-1\\ m=-\frac{a+c}{b}\end{array}$

    ゆえに 垂直二等分線の方程式は

    $y-\frac{b}{2}=-\frac{a+c}{b}\left(x-\frac{a-c}{2}\right)$

    この直線と y 軸、すなわち辺 BC の垂直二等分線の交点は、

    $\begin{array}{l}y-\frac{b}{2}=\frac{a^2-c^2}{2b}\\ y=\frac{a^2-c^2}{2b}+\frac{b}{2}\\ =\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\\ \left(0,\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)\end{array}$

    直線 AC の傾きは

    $\frac{b}{a-c}$

    よって、 辺 AC の垂直二等分線の傾きは、

    $\begin{array}{l}m·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{b}{a-c}=-1\\ m=\frac{c-a}{b}\end{array}$

    ゆえに、辺 AC の垂直二等分線の方程式は、

    $y-\frac{b}{2}=\frac{c-a}{b}\left(x-\frac{a+c}{2}\right)$

    との直線と y 軸、すなわち辺 BC の垂直二等分線との交点は、

    $\begin{array}{l}y=\frac{a^2-c^2}{2b}+\frac{b}{2}\\ =\frac{a^2+b^2-c^2}{2b^2}\\ \left(0,\frac{a^2+b^2-c^2}{2b^2}\right)\end{array}$

    よって、 三角形 ABC の各辺の垂直二等分線は同一の点で交わる。

    （証明終）