数学 - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 三角関数の合成、正弦と余弦

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (θ + α) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\sin θ \cos α + \cos θ \sin α) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin θ + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos θ) \\ = a \sin θ + b \cos θ \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \sin β = \frac{- a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \cos β = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \\ \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cos (θ + β) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\cos θ \cos β - \sin θ \sin β) \\ = b \cos θ + a \sin θ \\ = a \sin θ + b \cos θ \end{array}$

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