学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(e)を求めてみる。
∫(logx)3x2dx=-x-1(logx)3+∫x-13(logx)2·x-1dx=-x-1(logx)3+3∫x-2(logx)2dx∫x-2(logx)2dx=-x-1(logx)2+∫x-12(logx)x-1dx=-x-1(logx)3+2∫x-2logxdx∫x-2logxdx=-x-1logx+∫x-1·x-1dx=-x-1logx+∫x-2dx=-x-1logx-x-1=-x-1(logx+1)-x-1(logx)3-2x-1(logx+1)=-x-1((logx)3+2logx+2)-x-1(logx)3-3x-1((logx)3+2logx+2)=-x-1((logx)3+3(logx)3+6logx+6)=-x-1(4(logx)3+6logx+6)よって、
limb→∞∫b1(logx)3x2dx=limb→∞[-x-1(4(logx)3+6logx+6)]b1=limb→∞(-b-1(4(logb)3+6logb+6)+6)=6ゆえに、問題の無限級数は収束する。
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log from sympy import Rational import matplotlib.pyplot as plt print('12-(e).') n = symbols('n') epsilon = symbols('ε', positive=True) f = log(n) ** 3 / n ** 2 s = summation(f, (n, 1, oo)) I = Integral(f, (n, 1, oo)) for o in [s, I, I.doit()]: pprint(o) print() d = {epsilon: 0.00001} p = plot(f.subs(d), (n, 1, 11), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for s, color in zip(p, colors): s.line_color = color p.show() p.save('sample12.png') def g(m): return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)]) ms = range(1, 11) plt.plot(ms, [g(m) for m in ms]) plt.legend(['Σ (log n)^3 / n^2']) plt.savefig('sample12.png')
入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
C:\Users\...>py sample12.py 12-(e). ∞ _____ ╲ ╲ 3 ╲ log (n) ╲ ─────── ╱ 2 ╱ n ╱ ╱ ‾‾‾‾‾ n = 1 ∞ ⌠ ⎮ 3 ⎮ log (n) ⎮ ─────── dn ⎮ 2 ⎮ n ⌡ 1 6 c:\Users\...>
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