数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数の累乗(べき乗、立方)、累乗(べき乗、平方)、逆数、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(e)を求めてみる。

12. 
    
    5. 
       
       $\begin{array}{l}\int \; <!--\; integral\; -->\frac{{\left(\log x\right)}^3}{x^2}\mathrm{dx}\\ =-x^{-1}{\left(\log x\right)}^3+\int \; <!--\; integral\; -->x^{-1}3{\left(\log x\right)}^2·\; <!--\; middle\; dot\; -->x^{-1}\mathrm{dx}\\ =-x^{-1}{\left(\log x\right)}^3+3\int \; <!--\; integral\; -->x^{-2}{\left(\log x\right)}^2\mathrm{dx}\\ \int \; <!--\; integral\; -->x^{-2}{\left(\log x\right)}^{2}dx\\ =-x^{-1}{\left(\log x\right)}^2+\int \; <!--\; integral\; -->x^{-1}2\left(\log x\right)x^{-1}\mathrm{dx}\\ =-x^{-1}{\left(\log x\right)}^3+2\int \; <!--\; integral\; -->x^{-2}\log xdx\\ \int \; <!--\; integral\; -->x^{-2}\log xdx\\ =-x^{-1}\log x+\int \; <!--\; integral\; -->x^{-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->x^{-1}\mathrm{dx}\\ =-x^{-1}\log x+\int \; <!--\; integral\; -->x^{-2}dx\\ =-x^{-1}\log x-x^{-1}\\ =-x^{-1}\left(\log x+1\right)\\ -x^{-1}{\left(\log x\right)}^3-2x^{-1}\left(\log x+1\right)\\ =-x^{-1}\left({\left(\log x\right)}^3+2\log x+2\right)\\ -x^{-1}{\left(\log x\right)}^3-3x^{-1}\left({\left(\log x\right)}^3+2\log x+2\right)\\ =-x^{-1}\left({\left(\log x\right)}^3+3{\left(\log x\right)}^3+6\log x+6\right)\\ =-x^{-1}\left(4{\left(\log x\right)}^3+6\log x+6\right)\end{array}$

       よって、

       $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b\frac{{\left(\log x\right)}^3}{x^2}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\left[-x^{-1}\left(4{\left(\log x\right)}^3+6\log x+6\right)\right]}_1^b\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-b^{-1}\left(4{\left(\log b\right)}^3+6\log b+6\right)+6\right)\\ =6\end{array}$

       ゆえに、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(e).')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = log(n) ** 3 / n ** 2
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (log n)^3 / n^2'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(e).
  ∞          
_____        
╲            
 ╲       3   
  ╲   log (n)
   ╲  ───────
   ╱      2  
  ╱      n   
 ╱           
╱            
‾‾‾‾‾        
n = 1        

∞           
⌠           
⎮    3      
⎮ log (n)   
⎮ ─────── dn
⎮     2     
⎮    n      
⌡           
1           

6


c:\Users\...>