数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数の累乗、累乗(べき乗)、有理数、逆数、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(d)を求めてみる。

12. 
    
    4. 
       
       $\begin{array}{l}\int \; <!--\; integral\; -->\frac{{\left(\log x\right)}^2}{x^{\frac{3}{2}}}\mathrm{dx}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}{\left(\log x\right)}^2-\int \; <!--\; integral\; -->\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)2\left(\log x\right)\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}{\left(\log x\right)}^2+4\int \; <!--\; integral\; -->x^{-\frac{3}{2}}\log x\mathrm{dx}\\ \int \; <!--\; integral\; -->x^{-\frac{3}{2}}\log x\mathrm{dx}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}\log x-\int \; <!--\; integral\; -->\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}\log x+2\int \; <!--\; integral\; -->x^{-\frac{3}{2}}\mathrm{dx}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}\log x+2\left(-2\right)x-\frac{1}{2}\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}\left(\log x+2\right)\\ -2x^{-\frac{1}{2}}{\left(\log x\right)}^2+4\left(-2\right)x^{-\frac{1}{2}}\left(\log x+2\right)\\ =-2x^{-\frac{1}{2}}\left({\left(\log x\right)}^2+4\left(\log x+2\right)\right)\\ {\left[-2x^{-\frac{1}{2}}\left({\left(\log x\right)}^2+4\left(\log x+2\right)\right)\right]}_1^b\\ =-2b^{-\frac{1}{2}}\left({\left(\log b\right)}^2+4\left(\log b+2\right)\right)+2·\; <!--\; middle\; dot\; -->8\\ \underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b\frac{{\left(\log x\right)}^2}{x^{\frac{3}{2}}}\mathrm{dx}=16\end{array}$

       よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(d).')

n = symbols('n')
epsilon = symbols('ε', positive=True)
f = log(n) ** 2 / n ** Rational(3, 2)
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

d = {epsilon: 0.00001}
p = plot(f.subs(d),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}).subs(d) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (log n)^2 / n^(3/2)'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(d).
  ∞          
_____        
╲            
 ╲       2   
  ╲   log (n)
   ╲  ───────
   ╱     3/2 
  ╱     n    
 ╱           
╱            
‾‾‾‾‾        
n = 1        

∞           
⌠           
⎮    2      
⎮ log (n)   
⎮ ─────── dn
⎮    3/2    
⎮   n       
⌡           
1           

16


c:\Users\...>