数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 平方根、累乗(べき乗)、極限、発散

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題9を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{(n + 1) + 1}{\sqrt{{(n + 1)}^{4} + (n + 1) + 1}} \cdot \frac{\sqrt{n^{4} + n + 1}}{n + 1} \\ = \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{n^{3}} + \frac{1}{n^{4}}}{{(1 + \frac{1}{n})}^{4} + \frac{1}{n^{3}} + \frac{2}{n^{4}}}} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 \end{array}$

よって、

$\begin{array}{l} 0 < c < 1 \\ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < c \end{array}$

を満たす c は存在しないので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('9.')

n = symbols('n', integer=True)
# s = summation((n + 1) / sqrt(n ** 4 + n + 1), (n, 1, oo))
s = 0
l = Limit((n + 2) / sqrt((n + 1) ** 4 + n + 2) * sqrt(n ** 4 + n + 1) / (n + 1),
          n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([(k + 1) / sqrt(k ** 4 + k + 1) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 2) / sqrt((n + 1) ** 4 + n + 2) *
              sqrt(n ** 4 + n + 1) / (n + 1) for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ n + 1 / √ n^4 + n + 1', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
0

    ⎛              ____________   ⎞
    ⎜             ╱  4            ⎟
    ⎜   (n + 2)⋅╲╱  n  + n + 1    ⎟
lim ⎜─────────────────────────────⎟
n─→∞⎜           __________________⎟
    ⎜          ╱            4     ⎟
    ⎝(n + 1)⋅╲╱  n + (n + 1)  + 2 ⎠

1


c:\Users\...>

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2019年8月1日木曜日

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