数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 指数関数、三角関数(余弦)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題12を求めてみる。

12. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{1+\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\left(n+1\right)}{2}}{e^{n+1}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{e^n}{1+\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}n}{2}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{1}{e}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1+1}{1}\\ =\frac{2}{e}\\ <1\end{array}$

    よって、 問題 の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, pi, cos, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('12.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation((1 + cos(pi * n / 2)) / exp(n), (n, 1, oo))
pprint(s)


def f(n):
    return sum([(1 + cos(pi * k / 2)) / exp(k) for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns])

plt.legend(['Σ 1 + cos(πn/2) / e^n'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12.
  ∞                     
 ____                   
 ╲                      
  ╲   ⎛   ⎛π⋅n⎞    ⎞  -n
   ╲  ⎜cos⎜───⎟ + 1⎟⋅ℯ  
   ╱  ⎝   ⎝ 2 ⎠    ⎠    
  ╱                     
 ╱                      
 ‾‾‾‾                   
n = 1                   

c:\Users\...>