数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 一次関数(直線)、指数関数

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題10を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{n + 2}{2^{n + 1}} \cdot \frac{2^{n}}{n + 1} \\ = \frac{n + 2}{2 (n + 1)} \\ \leq \frac{n + \frac{1}{2} n}{2 n} \\ (n \geq 4) \\ \frac{\frac{3}{2} n}{2 n} \\ = \frac{3}{4} \\ < 1 \end{array}$

よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, sqrt, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('10.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation((n + 1) / 2 ** n, (n, 1, oo))
l = Limit((n + 2) / 2 ** (n + 1) * 2 ** n / (n + 1), n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([(k + 1) / 2 ** k for k in range(1, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 2) / 2 ** (n + 1) * 2 ** n / (n + 1) for n in ns],
         ns, [3 / 4 for _ in ns])

plt.legend(['Σ n + 1 / 2^n', 'an+1 / an', 3 / 4])
plt.savefig('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
3

    ⎛ n  -n - 1        ⎞
    ⎜2 ⋅2      ⋅(n + 2)⎟
lim ⎜──────────────────⎟
n─→∞⎝      n + 1       ⎠

1/2


c:\Users\...>

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2019年8月2日金曜日

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