数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 正弦、累乗(べき乗、立方)、判定

解析入門 原書第3版
原著
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}0\\ \le \sum \left|\frac{\sin n}{n^3}\right|\\ \le \sum \frac{1}{n^3}\\ \underset{b\to \infty }{\lim }\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x^3}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \infty }{\lim }{\left[-2x^{-2}\right]}_1^b\\ =-2\underset{b\to \infty }{\lim }\left(b^{-2}-1\right)\\ =2\end{array}$

   よって、絶対収束である。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, sin
import matplotlib.pyplot as plt

print('1.')

n = symbols('n')
f = abs(sin(n) / n ** 3)
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ |sin n / n^3|', '|sin n / n^3|'])
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
  ∞           
 ____         
 ╲            
  ╲   │sin(n)│
   ╲  │──────│
   ╱  │   3  │
  ╱   │  n   │
 ╱            
 ‾‾‾‾         
n = 1         

∞            
⌠            
⎮ │sin(n)│   
⎮ │──────│ dn
⎮ │   3  │   
⎮ │  n   │   
⌡            
1            

∞            
⌠            
⎮ │sin(n)│   
⎮ │──────│ dn
⎮ │   3  │   
⎮ │  n   │   
⌡            
1            


c:\Users\...>