数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 余弦、階乗

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   
   $\left|\frac{1+\cos \pi n}{n!}\right|\le \frac{2}{n!}$

   が成り立ち、

   $\sum \frac{2}{n!}$

   は収束するので、絶対収束。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, cos, factorial
from sympy import pi
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')

n = symbols('n')
f = abs((1 + cos(pi * n)) / factorial(n))
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I  # , I.doit()
          ]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ |1 + cos πn / n!|', '|1 + cos πn / n!|'])
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
  ∞                 
 ____               
 ╲                  
  ╲   │cos(π⋅n) + 1│
   ╲  │────────────│
   ╱  │     n!     │
  ╱                 
 ╱                  
 ‾‾‾‾               
n = 1               

∞                  
⌠                  
⎮ │cos(π⋅n) + 1│   
⎮ │────────────│ dn
⎮ │     n!     │   
⌡                  
1                  


c:\Users\...>

積分の計算がなかなか終わらなかったからコメントアウト。