数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗、指数関数、階乗、極限、束収

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題18を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1)! 3^{n + 1}} \cdot \frac{n! 3^{n}}{n^{n}} \\ = \frac{{(n + 1)}^{n + 1}}{(n + 1) 3 n^{n}} \\ = \frac{{(n + 1)}^{n}}{3 n^{n}} \\ = \frac{1}{3} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \\ < \frac{ε}{3} \\ < 1 \end{array}$

よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit, factorial
import matplotlib.pyplot as plt

print('18.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** n / (factorial(n) * 3 ** n), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** (n + 1) / (factorial((n + 1)) * 3 ** (n + 1)) /
          (n ** n / (factorial(n) * 3 ** n)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** k / (factorial(k) * 3 ** k) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** (n + 1) / (factorial((n + 1)) * 3 ** (n + 1)) /
              (n ** n / (factorial(n) * 3 ** n))
              for n in ns],
         ns, [exp(1) / 3 for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^n / n!3^n', 'a_(n+1) / a_n', exp(1) / 3])
plt.savefig('sample18.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample18.py
18.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲    -n  n
   ╲  3  ⋅n 
   ╱  ──────
  ╱     n!  
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

    ⎛ n  -n - 1  -n        n + 1   ⎞
    ⎜3 ⋅3      ⋅n  ⋅(n + 1)     ⋅n!⎟
lim ⎜──────────────────────────────⎟
n─→∞⎝           (n + 1)!           ⎠

ℯ
─
3


c:\Users\...>

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2019年8月10日土曜日

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