数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗(べき乗、平方)、指数関数、逆数、積、極限、収束

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題14を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{{(n + 1)}^{2} e^{- {(n + 1)}^{2}}}{n^{2} e^{- n^{2}}} \\ = {(1 + \frac{1}{n})}^{2} \cdot e^{- n^{2} - 2 n - 1 + n^{2}} \\ = {(1 + \frac{1}{n})}^{2} \frac{1}{e^{2 n + 1}} \\ \leq \frac{2}{e^{3}} \\ < 1 \end{array}$

よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('14.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 2 * exp(-n ** 2), (n, 2, oo))
l = Limit((n + 1) ** 2 * exp(-(n + 1) ** 2) / (n ** 2 * exp(-n**2)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 2 * exp(-k ** 2) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 2 * exp(-(n + 1) ** 2) / (n ** 2 * exp(-n**2))
              for n in ns],
         ns, [2 / exp(3) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^2e^-n^2', 'an + 1 / an', '2 / e^3'])
plt.savefig('sample14.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample14.py
14.
  ∞          
 ____        
 ╲           
  ╲         2
   ╲   2  -n 
   ╱  n ⋅ℯ   
  ╱          
 ╱           
 ‾‾‾‾        
n = 2        

    ⎛          ⎛ 2⎞          2⎞
    ⎜       2  ⎝n ⎠  -(n + 1) ⎟
    ⎜(n + 1) ⋅ℯ    ⋅ℯ         ⎟
lim ⎜─────────────────────────⎟
n─→∞⎜             2           ⎟
    ⎝            n            ⎠

1


c:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年8月6日火曜日

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