数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数、累乗(べき乗)、逆数、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題12-(b)を求めてみる。

12. 
    
    2. 
       
       $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b\frac{\log x}{x^{\frac{3}{2}}}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left({\left[-2x^{-\frac{1}{2}}\log x\right]}_1^b-\underset{1}{\overset{b}{\int \; <!--\; integral\; -->}}\left(-2x-\frac{1}{2}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}\mathrm{dx}\right)\\ =-2\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(b^{-\frac{1}{2}}\log b-{\int \; <!--\; integral\; -->}_1^b{x}^{-\frac{3}{2}}\mathrm{dx}\right)\\ =-2\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(b^{-\frac{1}{2}}\log b-{\left[-2x^{-\frac{1}{2}}\right]}_1^b\right)\\ =-2\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(b^{-\frac{1}{2}}\log b+2\left(b^{-\frac{1}{2}}-1\right)\right)\\ =-2·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(-2\right)\\ =4\end{array}$

       よって問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
from sympy import Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('12-(b).')

n = symbols('n')
f = log(n) / n ** Rational(3, 2)
s = summation(f, (n, 1, oo))
I = Integral(f, (n, 1, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ log n / n^2'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12-(b).
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲   log(n)
   ╲  ──────
   ╱    3/2 
  ╱    n    
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

∞          
⌠          
⎮ log(n)   
⎮ ────── dn
⎮   3/2    
⎮  n       
⌡          
1          

4


c:\Users\...>