数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 累乗(べき乗、平方)、指数関数、階乗、極限、ネイピア数(オイラー数)、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題6を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{\left(n+1\right)!}{{\left(n+1\right)}^{\left(n+1\right)}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{n^n}{n!}\\ =\frac{\left(n+1\right)n^n}{{\left(n+1\right)}^{\left(n+1\right)}}\\ =\frac{n^n}{{\left(n+1\right)}^n}\\ =\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}\\ n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{e}\end{array}$

   よって、

   $\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{1}{e}<1$

   よって 、問題の級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, factorial, Integral, plot
from sympy import Limit, exp
import matplotlib.pyplot as plt

print('6.')

n = symbols('n', integer=True)
f = factorial(n) / n ** n
s = summation(f, (n, 1, oo))
pprint(s)

I = Integral(f, (n, 1, oo))
ratio = f.subs({n: n + 1}) / f
l = Limit(ratio, n, oo, dir='-+')
for o in [I, I.doit(), l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, ratio, 1 / exp(1),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ n! / n^n'])
plt.savefig('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
  ∞         
 ___        
 ╲          
  ╲    -n   
  ╱   n  ⋅n!
 ╱          
 ‾‾‾        
n = 1       
∞          
⌠          
⎮  -n      
⎮ n  ⋅n! dn
⌡          
1          

∞          
⌠          
⎮  -n      
⎮ n  ⋅n! dn
⌡          
1          

    ⎛ n        -n - 1         ⎞
    ⎜n ⋅(n + 1)      ⋅(n + 1)!⎟
lim ⎜─────────────────────────⎟
n─→∞⎝            n!           ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>