数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 階乗、累乗(べき乗)

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{n+2}{\left(n+3\right)\left(n+1\right)!}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{n!\left(n+2\right)}{n+1}\\ =\frac{{\left(n+2\right)}^2}{{\left(n+1\right)}^2\left(n+3\right)}\\ n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->0\end{array}$

   よって問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, Limit, factorial
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation((n + 1) / ((n + 2) * factorial(n)), (n, 1, oo))
l = Limit(((n + 1) + 1) / (((n + 1) + 2) * factorial(n + 1)) *
          (n + 2) * factorial(n) / (n + 1), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([(k + 1) / ((k + 2) * factorial(k)) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [((n + 1) + 1) / (((n + 1) + 2) * factorial(n + 1)) *
              (n + 2) * factorial(n) / (n + 1)
              for n in ns])

plt.legend(['Σ (n + 1) / (n + 2)n!', 'a_(n+1) / a_n'])
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
-3/2 + ℯ

    ⎛             2          ⎞
    ⎜      (n + 2) ⋅n!       ⎟
lim ⎜────────────────────────⎟
n─→∞⎝(n + 1)⋅(n + 3)⋅(n + 1)!⎠

1


c:\Users\...>