数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 直線、指数関数、逆数、極限、収束

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題7を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{n + 1}{e^{n + 1}} \cdot \frac{e^{n}}{n} \\ = \frac{1}{e} (1 + \frac{1}{n}) \\ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{1}{e} < 1 \end{array}$

よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, Limit, exp
import matplotlib.pyplot as plt

print('7.')

n = symbols('n', integer=True)
f = n / exp(n)
s = summation(f, (n, 1, oo))
pprint(s)

I = Integral(f, (n, 1, oo))
ratio = f.subs({n: n + 1}) / f
l = Limit(ratio, n, oo, dir='-+')
for o in [I, I.doit(), l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, ratio, 1 / exp(1),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample7.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ n / e^n'])
plt.savefig('sample7.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
    -1    
   ℯ      
──────────
         2
⎛     -1⎞ 
⎝1 - ℯ  ⎠ 
∞         
⌠         
⎮    -n   
⎮ n⋅ℯ   dn
⌡         
1         

   -1
2⋅ℯ  

    ⎛         n  -n - 1⎞
    ⎜(n + 1)⋅ℯ ⋅ℯ      ⎟
lim ⎜──────────────────⎟
n─→∞⎝        n         ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>

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2019年8月20日火曜日

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