数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 加法定理、正弦、余弦、正接、半角

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}{\sin }^2\frac{\pi }{8}\\ ={\sin }^2\left(\frac{\frac{\pi }{4}}{2}\right)\\ =\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{2}\\ =\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\\ =\frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2}\\ =\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\\ =\frac{2-\sqrt{2}}{4}\\ \sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\ {\cos }^2\frac{\pi }{8}\\ ={\cos }^2\frac{\frac{\pi }{4}}{2}\\ =\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}\\ =\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\\ =\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\ \cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\ \tan \frac{\pi }{8}\\ =\frac{\sin \frac{\pi }{8}}{\cos \frac{\pi }{8}}\\ =\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ =\frac{\sqrt{4-2}}{2+\sqrt{2}}\\ =\frac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)}{4-2}\\ =\frac{2\sqrt{2}-2}{2}\\ =\sqrt{2}-1\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, tan, pi, sqrt, plot

print('7.')


class MyTest(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test(self):
        spam = [sin, cos, tan]
        egg = [sqrt(2 - sqrt(2)) / 2,
               sqrt(2 + sqrt(2)) / 2,
               sqrt(2) - 1]
        for s, t in zip(spam, egg):
            self.assertEqual(s(pi / 8).factor(), t.factor())


if __name__ == '__main__':
    theta = symbols('θ')
    p = plot(sin(theta), cos(theta), tan(theta),
             sqrt(2 - sqrt(2)) / 2,
             sqrt(2 + sqrt(2)) / 2,
             sqrt(2) - 1,
             (theta, -5, 5),
             ylim=(-5, 5),
             show=False,
             legend=True)

    colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
              'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

    for o, color in zip(p, colors):
        o.line_color = color

    p.show()
    p.save('sample7.png')
    main()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample7.py
7.
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.021s

OK

C:\Users\...>