数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 不等式の表す領域 - 領域と最大値・最小値 - 直線、円、点との距離

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.4(不等式の表す領域)、領域と最大値・最小値の問39の解答を求めてみる。

39. 
    
    1. 
       
       $x+y=k$

       とおくと、

       $\begin{array}{l}y=-x+k\\ y\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-2x+8\\ y\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\end{array}$

       問題の連立不等式の表す領域を図示。

       また2直線の交点について

       $\begin{array}{l}-2x+8=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\\ \frac{3}{2}x=\frac{9}{2}\\ x=3,y=2\end{array}$

       よって、最大値、最小値はそれぞれ

       $\begin{array}{l}2+3=5\\ 0+0=0\end{array}$
    2. 
       
       $x-y=k$

       とおくと、

       $y=x-k$

       よって、 求める最大値、最小値はそれぞれ、

       $\begin{array}{l}4-0=4\\ 0-\frac{7}{2}=-\frac{7}{2}\end{array}$
    3. 
       
       $4y-3x=k$

       とおくと、

       $\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}k\\ y\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\end{array}$

       問題の連立不等式の表す領域を図示。

       各直線の交点について。

       $\begin{array}{l}3x=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\\ 9x=-x+10\\ x=1,y=3\\ \frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\\ 3x=-2x+20\\ x=4,y=2\end{array}$

       よって、求める最大値、最小値はそれぞれ

       $\begin{array}{l}4·\; <!--\; middle\; dot\; -->3-3·\; <!--\; middle\; dot\; -->1=9\\ 4·\; <!--\; middle\; dot\; -->2-3·\; <!--\; middle\; dot\; -->4=-4\end{array}$
    4. 
       
       $x+y=k$

       とおく と、

       $x+y-k=0$

       この方程式が表す直線と原点との距離が1になる場合を考える。

       $\begin{array}{l}\frac{\left|-k\right|}{\sqrt{1+1}}=1\\ k=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{2}\end{array}$

       よって 求める最大値、最小値は

       $\begin{array}{l}\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}\end{array}$
       • と同様に、
       $\begin{array}{l}\frac{\left|-k\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\\ k=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->25\end{array}$

       よって求める最大値は25、最小値は-25。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Rational

print('39.')

print('(1)')

x, k = symbols('x, k')

fs = [-2 * x + 8,
      -x / 2 + Rational(7, 2)]

p = plot(*fs,
         *[-x + k for k in [-1, 0, 1, 4, 5, 6]],
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample39.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample39.py
39.
(1)

C:\Users\...>