数学 - 線形代数学 - 多重線形積 - テンソル積 - 線形写像、双線形写像、和、スカラー倍

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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の13章(多重線形積)、1(テンソル積)、練習問題1の解答を求めてみる。

$f (v, w) = F (v \otimes u)$
とおく。
$\begin{array}{l} f (u + v, w) \\ = F ((u + v) \otimes w) \\ = F ((u \otimes w) + (v \otimes w)) \\ = F (u \otimes w) + F (v \otimes w) \\ = f (u, w) + f (v, w) \\ f (u, v + w) \\ = F (u \otimes (v + w)) \\ = F (u \otimes v + u \otimes w) \\ = F (u \otimes v) + F (u \otimes w) \\ = f (u, v) + f (u, w) \\ f (c u, v) \\ = F ((c u) \otimes v) \\ = F (c (u \otimes v)) \\ = c F (u \otimes V) \\ = c f (u, v) \\ f (u, c v) \\ = F (u \otimes (c v)) \\ = F (c (u \otimes v)) \\ = c F (u \otimes v) \\ = c f (u, v) \end{array}$
よって写像 f は Vx W から U の中への双線形写像である。
（証明終）

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