数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 対数関数、累乗根(平方根)、収束するが絶対収束しない場合

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題20を求めてみる。

20. 
    
    $\begin{array}{l}\sum \left|{\left(-1\right)}^n\frac{1}{\sqrt{\log n}}\right|\\ =\sum \frac{1}{\sqrt{\log n}}\\ \ge \sum \frac{1}{\sqrt{n}}\end{array}$

    よって、 絶対収束しない。

    交代級数で、

    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-1\right)}^n\frac{1}{\sqrt{\log n}}=0\\ \frac{1}{\sqrt{\log \left(n+1\right)}}\le \frac{1}{\sqrt{\log n}}\end{array}$

    よって収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, sqrt, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('20.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** n / sqrt(log(n))
s1 = summation(f, (n, 2, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 2, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(2, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(2, m)])


p = plot(abs(f),
         (n, 2, 12),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample20.png')

ms = range(2, 12)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms],
         ms, [f.subs({n: m}) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^n * 1 / √log n',
            'Σ |(-1)^n * 1 / √log n|',
            '(-1)^n * 1 / √log n',
            '|(-1)^n * 1 / √log n|'])
plt.savefig('sample20.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample20.py
20.
  ∞             
_____           
╲               
 ╲          n   
  ╲     (-1)    
   ╲  ──────────
   ╱    ________
  ╱   ╲╱ log(n) 
 ╱              
╱               
‾‾‾‾‾           
n = 2           

  ∞                         
 ____                       
 ╲                          
  ╲    -π⋅im(n) │    1     │
   ╲  ℯ        ⋅│──────────│
   ╱            │  ________│
  ╱             │╲╱ log(n) │
 ╱                          
 ‾‾‾‾                       
n = 2                       


c:\Users\...>