数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 直線、累乗根(平方根)、収束するが絶対収束しない場合

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題17を求めてみる。

17. 
    
    $\begin{array}{l}\sum \left|{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{\sqrt{n}}{n+2}\right|\\ =\sum \frac{1}{\sqrt{n}+\frac{2}{\sqrt{n}}}\end{array}$

    よっと絶対収束しない。

    交代級数で

    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-1\right)}^{n+1}\frac{\sqrt{n}}{n+2}=0\\ \left|a_{n+1}\right|\le \left|a_n\right|\end{array}$

    なので収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, sqrt
import matplotlib.pyplot as plt

print('17.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** (n + 1) * sqrt(n) / (n + 2)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(1, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample17.png')

ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms],
         ms, [f.subs({n: m}) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^(n+1) * √n / (n + 2)',
            'Σ |(-1)^(n+1) * √n / (n + 2)|',
            '(-1)^(n+1) * √n / (n + 2)',
            '|(-1)^(n+1) * √n / (n + 2)|'])
plt.savefig('sample17.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample17.py
17.
  ∞               
 ____             
 ╲                
  ╲       n + 1   
   ╲  (-1)     ⋅√n
   ╱  ────────────
  ╱      n + 2    
 ╱                
 ‾‾‾‾             
n = 1             

  ∞                    
 ____                  
 ╲                     
  ╲    -π⋅im(n) │  √n │
   ╲  ℯ        ⋅│─────│
   ╱            │n + 2│
  ╱                    
 ╱                     
 ‾‾‾‾                  
n = 1                  


c:\Users\...>