数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 対数関数、逆数、収束と絶対収束、極限

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題12を求めてみる。

$\begin{array}{l} \sum |\frac{{(- 1)}^{n + 2}}{\log n}| \\ = \sum \frac{1}{\log n} \end{array}$
よって絶対収束しない。
$\begin{array}{l} \lim_{n \to 0} \frac{{(- 1)}^{n + 2}}{\log n} = 0 \\ |a_{n + 1}| \\ = |\frac{{(- 1)}^{n + 3}}{\log (n + 1)}| \\ = \frac{1}{\log (n + 1)} \\ \leq \frac{1}{\log n} \\ = |\frac{{(- 1)}^{n + 2}}{\log n}| \\ = |a_{n}| \end{array}$
よって収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('12.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** (n + 2) / log(n)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(2, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(2, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')

ms = range(2, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^(n + 2) / log n',
            'Σ |(-1)^(n + 2) / log n|',
            '(-1)^(n + 2) / log n',
            '|(-1)^(n + 2) / log n|'])
plt.savefig('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12.
  ∞            
 ____          
 ╲             
  ╲       n + 2
   ╲  (-1)     
   ╱  ─────────
  ╱     log(n) 
 ╱             
 ‾‾‾‾          
n = 1          

  ∞                     
 ____                   
 ╲                      
  ╲    -π⋅im(n) │  1   │
   ╲  ℯ        ⋅│──────│
   ╱            │log(n)│
  ╱                     
 ╱                      
 ‾‾‾‾                   
n = 1                   


c:\Users\...>

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2019年9月10日火曜日

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