数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 対数関数、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題9を求めてみる。

9. 
   

   交代級数で

   $\underset{n\to n}{\lim }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{\log \left(n+2\right)}=0$

   また、

   $\begin{array}{l}\left|a_{n+1}\right|\\ =\left|\frac{{\left(-1\right)}^{n+2}}{\log \left(n+2\right)}\right|\\ =\frac{1}{\log \left(n+2\right)}\\ \left|a_n\right|\\ =\frac{1}{\log \left(n+1\right)}\\ \left|a_{n+1}\right|\le \left|a_n\right|\end{array}$

   よって問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('9.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** (n + 1) / log(n + 2)
s = summation(f, (n, 1, oo))
pprint(s)

p = plot(f,
         (n, 1, 101),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample9.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


ms = range(1, 101)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^(n + 1) / log(n + 2)',
            '(-1)^(n + 1) / log(n + 2)'])
plt.savefig('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.
  ∞             
 ____           
 ╲              
  ╲       n + 1 
   ╲  (-1)      
   ╱  ──────────
  ╱   log(n + 2)
 ╱              
 ‾‾‾‾           
n = 1           

c:\Users\...>