数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 累乗(べき乗、有理数)

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題18を求めてみる。

$\sum |\frac{{(- 1)}^{n}}{n^{\frac{5}{2}} + n}| = \sum \frac{1}{n^{\frac{5}{2}} + n}$
よって絶対収束する。
ゆえに収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, Rational
import matplotlib.pyplot as plt

print('18.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** n / (n ** Rational(5, 2) + n)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(1, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample18.png')

ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms],
         ms, [f.subs({n: m}) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^n * 1 / (n^(5/2) + n)',
            'Σ |(-1)^n * 1 / (n^(5/2) + n)|',
            '(-1)^n * 1 / (n^(5/2) + n)',
            '|(-1)^n * 1 / (n^(5/2) + n)|'])
plt.savefig('sample18.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample18.py
18.
  ∞           
_____         
╲             
 ╲         n  
  ╲    (-1)   
   ╲  ────────
   ╱   5/2    
  ╱   n    + n
 ╱            
╱             
‾‾‾‾‾         
n = 1         

  ∞                       
 ____                     
 ╲                        
  ╲    -π⋅im(n) │   1    │
   ╲  ℯ        ⋅│────────│
   ╱            │ 5/2    │
  ╱             │n    + n│
 ╱                        
 ‾‾‾‾                     
n = 1                     


c:\Users\...>

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2019年9月16日月曜日

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