数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 累乗(べき乗、平方と立方)、収束と絶対収束、極限、発散

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題15を求めてみる。

15. 
    
    $\begin{array}{l}\left|{\left(-1\right)}^n\frac{n^2}{n^3+2}\right|\\ =\frac{n^2}{n^3+2}\\ \ge \frac{n^2}{n^3+n^3}\\ \ge \frac{1}{2}\frac{1}{n}\end{array}$

    また、

    $\frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}$

    は発散するので絶対収束しない。

    交代級数で、

    $\begin{array}{l}n\ge 2\\ \left|a_{n+1}\right|\le \left|a_n\right|\end{array}$

    よって収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, root
import matplotlib.pyplot as plt

print('15.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** n * n ** 2 / (n ** 3 + 2)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(1, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample15.png')

ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms],
         ms, [f.subs({n: m}) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^n n^2 / (n^3 + 2)',
            'Σ |(-1)^n n^2 / (n^3 + 2)|',
            '(-1)^n n^2 / (n^3 + 2)',
            '|(-1)^n n^2 / (n^3 + 2)|'])
plt.savefig('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15.
  ∞           
_____         
╲             
 ╲        n  2
  ╲   (-1) ⋅n 
   ╲  ────────
   ╱    3     
  ╱    n  + 2 
 ╱            
╱             
‾‾‾‾‾         
n = 1         

  ∞                     
_____                   
╲                       
 ╲              │   2  │
  ╲    -π⋅im(n) │  n   │
   ╲  ℯ        ⋅│──────│
   ╱            │ 3    │
  ╱             │n  + 2│
 ╱                      
╱                       
‾‾‾‾‾                   
n = 1                   


c:\Users\...>